Matrices Teoria Y Problemas Frank Ayres Serie Schaum.rar

Matrices Teoria Y Problemas Frank Ayres Serie Schaum

Matrices Teoria Y Problemas Frank Ayres Serie Schaum

Las matrices son una herramienta matemática muy útil para representar y manipular datos, sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales, entre otras aplicaciones. En este artículo, se presenta una introducción a la teoría y los problemas de matrices, basada en el libro de Frank Ayres, publicado en la serie Schaum.

Download Zip: https://t.co/382BZRvJoc

Conceptos básicos de matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números, que se pueden organizar en filas y columnas. Por ejemplo, la siguiente matriz tiene 2 filas y 3 columnas:

1 2 3 4 5 6

El número de filas y columnas de una matriz se llama su dimensión, y se denota por m x n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. En el ejemplo anterior, la dimensión es 2 x 3.

Cada elemento de una matriz se identifica por su posición, indicando el número de fila y el número de columna. Por ejemplo, el elemento en la primera fila y la segunda columna se denota por a12, y en el ejemplo anterior, a12 = 2.

Operaciones con matrices

Existen varias operaciones que se pueden realizar con matrices, como la suma, la resta, el producto por un escalar, el producto entre matrices, la transposición, el determinante, la inversa, etc. A continuación, se explican algunas de estas operaciones con ejemplos.

Suma y resta de matrices

Para sumar o restar dos matrices, éstas deben tener la misma dimensión. La suma o resta se realiza elemento a elemento, es decir, se suma o resta el elemento correspondiente de cada matriz. Por ejemplo:

1 2 3 4 5 6 1 + 4 2 + 5 3 + 6 5 7 9 4 5 6 + -1 -2 -3 = 4 + (-1) 5 + (-2) 6 + (-3) = 3 3 3

La suma o resta de matrices cumple las propiedades conmutativa (A + B = B + A), asociativa ((A + B) + C = A + (B + C)) y distributiva (A(B + C) = AB + AC).

Producto por un escalar

El producto por un escalar consiste en multiplicar cada elemento de una matriz por un número. Por ejemplo:

-2 1 -1 -3 2 = -2 -2 -6 -4

El producto por un escalar cumple las propiedades asociativa (a(BC) = (aB)C), distributiva (a(B + C) = aB + aC) y conmutativa (aB = Ba).

Producto entre matrices

El producto entre matrices consiste en multiplicar cada fila de una matriz por cada columna de otra matriz, y sumar los resultados. Para que el producto entre matrices sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. El resultado es una matriz cuya dimensión es el número de filas de la primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz. Por ejemplo:

1 -1 2 -3 (1)(2) + (-1)(-4) (1)(-3) + (-1)(1) 6 -4 -3 2 x -4 1 = (-3)(2) + (2)(-4) (-3)(-3) + (2)(1) = -20 11

El producto entre matrices cumple las propiedades asociativa ((AB)C = A(BC)), distributiva (A(B + C) = AB + AC), pero no cumple la propiedad conmutativa (AB BA en general).

Ejercicios resueltos

A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos de matrices, tomados del libro de Frank Ayres.

Ejercicio 1

Si A = 1 2 , B = -1 0 y C = 0 -1 , calcular A(B + C).

Solución:

Primero, se calcula B + C:

B + C = -1 0 + 0 -1 = -1 -1 0 1 -1 0 -1 1

Luego, se calcula A(B + C):

A(B + C) = 1 2 x -1 -1 = (1)(-1) + (2)(-1) (1)(-1) + (2)(1) = -3 1 -3 4 -1 1 (-3)(-1) + (4)(-1) (-3)(-1) + (4)(1) -7 7

Ejercicio 2

Si A = a11 a12 a13 , B = b11 b12 b13 y C = c11 c12 c13 , demostrar que (A + B)C = AC + BC.

Solución:

Primero, se calcula A + B:

A + B = a11 a12 a13 + b11 b12 b13 = a11+b11 a12+b12 a13+b13 a21 a22 a23 b21 b22 b23 a21+b21 a22+b22 a23 +b<

sub >23 a<

sub >31 a<

sub >32 a<

sub >33 b<

sub >31 b<

sub >32 b<

sub >33 a<

sub >31 +b<

sub >31 a<

sub >32 +b<

sub >32

a<

sub >

33

sub>33

Then, we calculate (A + B)C:

(A + B)C = a11+b11 a12+b12 a13+b13 x c11 c12 c13 = (a11+b11)c11 + (a12+b12)c21 + (a13+b13)c31 (a11+b11)c12 + (a12+b12)c22 + (a13+b13)c32 (a11+b11)c13 + (a<

a<

sub >21 +b<

sub >21 a<

sub >22 +b<

sub >22

a<

sub >

23 +b<

sub >23 c<

sub >11 c<

sub >12

c<

sub >

13 (a<

sub >21 +b<

sub >21 )c<

sub >11

+ (a<

sub >

22 +b<

sub >22 )c<

sub >

21 + (a<

sub >

23 +b<

sub >

23 )c<

sub >

31 </ sub ( a<

sub >

21 +b<

sub >

21 )c<

sub >

12 + (a<

sub >

22 +b<

sub >

22 )c<

sub >

22 + (a<

sub >

23 +b<

sub >

23 </ ( a<

sub >

21 + b <

s ub >

21 ) c <

s ub >

13 + ( a <

s ub >

22 + b <

s ub >

22 ) c <

s ub >

23 + ( a <

a <

s ub >

31 + b <

s ub >

31 a <

s ub >

32 + b <

s ub >

32 a <

c <

s ub >

11 c <

s ub >

12 c <

( a <

s ub >

31 + b <

s ub >

31 ) c <

s ub >

11 + ( a <

( a <

s ub >

31 + b <

s ub >

31 ) c <

s ub >

12 + ( a <

( a <

s ub >

31 </ s u